# Numération de position > Des chiffres qui valent par leur place - Date: v. 2 050 av. J.-C. - Époque: Antiquité - Domaine: [Temps & mesure](https://lastcodex.org/fr/domains/measure/) - Palier: II (Établissement) - Difficulté: 2/5 - URL: https://lastcodex.org/fr/inventions/positional-numerals/ Dans une numération de position, quelques chiffres suffisent à écrire n'importe quel nombre, car la valeur de chacun dépend de la place qu'il occupe. Avec un zéro pour marquer une place vide, additions, multiplications et divisions se posent par écrit, colonne par colonne, sans abaque. ![Numération de position · Des chiffres qui valent par leur place](https://lastcodex.org/_astro/plate.FLZTh76K_Z2armYU.webp) ## Légende 1. Abaque à jetons : une ligne par puissance de dix 2. Caillou servant de jeton 3. Tablette d'argile : mille, soit 16 soixantaines et 40, en base soixante 4. Points et barres mayas : 2 et 10, en base vingt 5. Coquillage du zéro maya 6. Mille en chiffres indiens, ceux que nous employons ## Ce que c'est Dans 707, le premier 7 compte des centaines, le dernier des unités. Toute la numération de position tient là : un petit jeu de signes dont la valeur dépend de l'endroit où on les place. Les dix chiffres de 0 à 9 suffisent à écrire tout nombre entier, aussi grand soit-il. Les systèmes plus anciens additionnaient leurs signes. Les scribes égyptiens avaient un signe pour l'unité, un autre pour la dizaine, un autre pour la centaine, et répétaient chacun autant de fois qu'il le fallait. En chiffres romains, 1888 s'écrit MDCCCLXXXVIII, treize signes. Ces nombres conviennent pour noter un total, mais on calcule mal avec eux. Les comptables romains puis médiévaux travaillaient donc sur un abaque et n'écrivaient que le résultat. La numération de position fait du nombre écrit un abaque sur le papier : le calcul lui-même peut être noté, puis vérifié. Le zéro le permet : d'abord simple marque d'une place vide, il est ensuite devenu un nombre. ## Comment ça marche ![Une main enfonce un calame de roseau dans l'argile fraîche, à côté d'un clou vertical et d'un chevron déjà imprimés](https://lastcodex.org/_astro/v1.BjYw3BLd_O3FXW.webp) _Un nombre babylonien s'imprimait dans l'argile humide, un coin après l'autre._ La base est le nombre de chiffres différents, et chaque place vaut autant de fois la place située à sa droite. En base dix, 2748 signifie 2 milliers, 7 centaines, 4 dizaines et 8 unités. Dans 1081, le zéro indique qu'il n'y a pas de centaine ; sans lui, 1081 et 181 se confondraient. Les autres bases suivent la même règle. Les scribes babyloniens comptaient par soixante avec deux marques, le clou vertical pour un et le chevron pour dix. Mille vaut 16 soixantaines et 40 : on écrit 16, puis 40. Les Mayas comptaient par vingt, avec un point pour un, une barre pour cinq et un coquillage pour zéro, et empilaient les places de bas en haut. Mille, c'est deux fois quatre cents, dix vingtaines et aucune unité : deux points sur deux barres sur un coquillage. Pour les dates du calendrier, la troisième place comptait 360 jours au lieu de 400. Les ordinateurs travaillent en base deux, où 13 s'écrit 1101 : un huit, un quatre, pas de deux et une unité. Quand une colonne atteint dix ou plus, on écrit ses unités et l'on reporte ses dizaines sur la colonne suivante ; quand elle ne suffit pas, on emprunte un à gauche. Décaler un nombre d'une place vers la gauche le multiplie par dix, si bien que 47 × 23 vaut 47 × 3 plus 47 × 20 : 141 + 940 = 1081. La table de multiplication jusqu'à 9 × 9 suffit pour multiplier deux nombres quelconques. La division posée avance de gauche à droite, une place à la fois : on cherche un chiffre du quotient, on multiplie, on soustrait, on abaisse le chiffre suivant. ## Comment le construire Il faut une planche plate ou un carré de sable lisse, une craie ou un bâton, une quarantaine de cailloux, du papier et un crayon. **Tracer l'abaque.** Tracez quatre lignes parallèles espacées d'une largeur de main : en partant du bas, les unités, les dizaines, les centaines et les milliers. Une fois les retenues faites, aucune ligne ne porte plus de neuf cailloux. **Poser un nombre.** Pour 2748, mettez 2 cailloux sur la ligne des milliers, 7 sur les centaines, 4 sur les dizaines et 8 sur les unités. Une ligne vide vaut zéro. ![Dix cailloux en deux groupes de cinq sur la ligne du bas d'un abaque, et une flèche menant à un seul caillou sur la ligne du dessus](https://lastcodex.org/_astro/v2.ZYqKgi2l_Z2pfhho.webp) _La retenue sur l'abaque : dix jetons d'une ligne s'échangent contre un seul sur la ligne du dessus._ **Additionner avec retenue.** Ajoutez 1375 en posant 1, 3, 7 et 5 cailloux sur les mêmes lignes. La ligne des unités en compte alors 13 : retirez-en dix, posez-en un sur la ligne des dizaines, il en reste 3. La ligne des dizaines en compte 12 ; retenez encore, puis faites de même avec les centaines. L'abaque affiche 4123. **Multiplier.** Videz l'abaque. Pour 47 × 23, posez trois fois 47 en faisant les retenues au fur et à mesure : 141. Posez ensuite deux fois 47, chaque caillou une ligne plus haut que d'habitude, ce qui ajoute 940. Faites les retenues et lisez 1081. **Passer au papier.** Refaites les mêmes calculs en colonnes, la retenue écrite en petit au-dessus de la colonne suivante. Chaque colonne est une ligne de l'abaque, chaque chiffre un nombre de cailloux, chaque 0 une ligne vide. **Changer de base.** Pour écrire 4000 secondes en base soixante, divisez par 60 : 66, reste 40. Divisez 66 par 60 : 1, reste 6. Lisez le dernier quotient, puis les restes à rebours : 1, 6 et 40, soit 1 heure, 6 minutes et 40 secondes. > **Sécurité.** Les petits cailloux présentent un risque d'étouffement pour les jeunes enfants. Choisissez des pierres trop grosses pour être avalées, ou rangez l'abaque hors de leur portée. ## Histoire et évolution La plus ancienne attestation datée avec certitude est une tablette de brouillon d'Ur, de 2043 av. J.-C., qui additionne des poids en base soixante. Vers 1800 av. J.-C., les tablettes des écoles babyloniennes en font un usage courant. Il n'y avait ni zéro ni marque séparant la partie entière des fractions : le lecteur jugeait de l'ordre de grandeur d'après le contexte. À partir de 700 av. J.-C. environ, certains scribes placent un signe dans une place vide au milieu d'un nombre, jamais à la fin. Les astronomes grecs ont gardé la base soixante pour les fractions, et c'est pourquoi l'heure et le degré comptent encore soixante minutes. Les Mayas sont parvenus seuls à la numération de position et au zéro. Des dates en Compte long apparaissent dans le sud du Mexique dès le Ier siècle av. J.-C., et des stèles d'Uaxactun datées de 357 notent les places vides par un signe du zéro. ![Des jetons de compte en laiton posés sur un tapis vert rayé de lignes parallèles, à côté d'une bourse de cuir ouverte](https://lastcodex.org/_astro/v3.BFN5qbt8_Z1xM19q.webp) _À la fin du Moyen Âge, on comptait encore souvent en Europe avec des jetons de laiton sur un tapis ligné._ Nos chiffres viennent de l'Inde. En 628, Brahmagupta définit le zéro comme un nombre moins lui-même et donne des règles pour calculer avec lui, mais il se trompe en posant que zéro divisé par zéro vaut zéro. Le manuscrit de Bakhshali, découvert près de Peshawar en 1881, note le zéro par un point ; trois de ses feuillets, datés au radiocarbone en 2017, s'échelonnent du IIIe au Xe siècle, et la date du texte reste discutée. Le plus ancien zéro daté et incontesté de l'Inde se trouve à Gwalior, en 876. Dans la Bagdad du IXe siècle, al-Khwarizmi écrit un traité du calcul indien, connu seulement en latin ; son nom a donné le mot algorithme. Fibonacci apprend les chiffres en Afrique du Nord et les enseigne dans son Liber abaci de 1202. En 1299, la corporation des changeurs de Florence les bannit de ses livres de comptes, et les abaques à jetons restent en usage dans le nord de l'Europe jusqu'au XVIe siècle. ## Chiffres clés - Numération de position en base soixante: Première attestation datée à Ur en 2043 av. J.-C. ; courante dans les écoles babyloniennes vers 1800 av. J.-C. - Le zéro traité comme un nombre: Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, 628 apr. J.-C. - Plus ancien zéro daté et incontesté en Inde: Inscription de Gwalior, 876, dans les nombres 270 et 50 - Zéro maya: Signes du zéro sur des stèles d'Uaxactun datées de 357 - Liber abaci: Fibonacci, Pise, 1202 ## Nécessite - [Écriture](https://lastcodex.org/fr/inventions/writing/): Le savoir qui survit à la mémoire (v. 3 300 av. J.-C.) ## Mène à - [Navigation astronomique](https://lastcodex.org/fr/inventions/celestial-navigation/): Le point du navire lu dans le ciel (v. 1460) - [Ordinateur](https://lastcodex.org/fr/inventions/computer/): La machine à programme enregistré (1948) - [Thermomètre et baromètre](https://lastcodex.org/fr/inventions/thermometer/): Température et pression lues sur le verre (v. 1654) ## Sources - [Bases, positions and computations (Chemla, 2025)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC12536272/), Philosophical Transactions of the Royal Society B - [On the Alleged Counting with Sexagesimal Place Value Numbers in Mathematical Cuneiform Texts from the Third Millennium B.C. (Friberg, 2005)](https://cdli.earth/articles/cdlj/2005-2), Cuneiform Digital Library Journal - [A history of Zero](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero/), MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews - [Babylonian numerals](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals/), MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews - [Indian numerals](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals/), MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews - [Brahmagupta](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brahmagupta/), MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews - [Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'](https://www.glam.ox.ac.uk/node/218481), Gardens, Libraries and Museums, University of Oxford - [The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating (Plofker, Keller, Hayashi, Montelle, Wujastyk, 2017)](https://journals.library.ualberta.ca/hssa/index.php/hssa/article/view/22), History of Science in South Asia - [The use of Zero as a placeholder by the Maya (J. G. Atkinson)](https://www.mexicolore.co.uk/maya/home/the-maya-and-zero/1000), Mexicolore - [The Calendar Inscriptions](https://archaeology.org/issues/november-december-2012/collection/calendar-inscriptions/), Archaeology Magazine, Archaeological Institute of America - [Arabic numerals](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_numerals/), MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews - [Fibonacci](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fibonacci/), MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews - [The mathematician Fibonacci, or how the number 7 came to Europe](https://blog.nationalmuseum.ch/en/2020/03/the-mathematician-fibonacci-or-how-the-number-7-came-to-europe/), Swiss National Museum Faits vérifiés le 2026-10-14. --- The Last Codex · https://lastcodex.org/fr/inventions/positional-numerals/ · © The Last Codex. Textes, planches et figures : CC BY-NC-ND 4.0.