Logarithmes et règle à calcul

Un logarithme transforme une multiplication en addition : la somme des logarithmes de deux nombres est le logarithme de leur produit. La règle à calcul, née vers 1622 des logarithmes de Napier et de l'échelle de Gunter, fait cette addition avec deux réglettes qui coulissent, et les ingénieurs s'en sont servis jusqu'à l'arrivée des calculatrices de poche dans les années 1970.

Ce que c’est

Multiplier 4 738 par 2 916 à la main demande quatre lignes de produits partiels et une longue addition pour finir. Avec les logarithmes, le même travail se réduit à trois lectures dans une table et une addition.

En base 10, le logarithme d’un nombre est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir ce nombre. 100 vaut 10², son logarithme est donc 2. Les nombres compris entre 1 et 10 ont un logarithme entre 0 et 1 : 2 vaut environ 10 puissance 0,301, donc log 2 = 0,301.

La règle à calcul porte ces logarithmes sur deux règles. Chaque nombre y est gravé à une distance de l’origine proportionnelle à son logarithme, et faire glisser une règle le long de l’autre additionne deux longueurs.

Comment ça marche

Les puissances de 10 se multiplient en additionnant leurs exposants : 10² × 10³ = 10⁵. Cela vaut aussi pour les puissances fractionnaires, d’où log(a × b) = log a + log b. Pour multiplier, on cherche les deux logarithmes dans une table, on les additionne, puis on cherche le nombre dont le logarithme vaut cette somme. La division devient une soustraction, la racine carrée une moitié de logarithme. Une table n’a besoin que des nombres de 1 à 10 par petits pas : 4 738 vaut 4,738 × 10³, son logarithme est donc 3 plus celui de 4,738. Les tables imprimées ont gagné astronomes, arpenteurs et navigateurs, et Johannes Kepler s’en est servi pour réduire ses observations des planètes.

Avec un compas, la ligne de Gunter additionne deux logarithmes comme deux longueurs.

En 1620, Edmund Gunter grave une ligne de logarithmes sur une règle de deux pieds anglais. Le 2 se trouve à 30,1 % du chemin entre 1 et 10, le 3 à 47,7 %, et les traits se resserrent vers le 10. Pour multiplier 2 par 4, on ouvre le compas de 1 à 2, puis on le déplace sans changer l’écartement jusqu’à poser une pointe sur 4 : l’autre tombe sur 8. Les marins emportaient une telle règle et l’appelaient tout simplement « un Gunter ».

La règle à calcul se passe du compas. Deux échelles identiques, D sur le corps fixe et C sur la réglette, sont placées bord à bord. On amène le 1 du début de C, l’index, en face du premier nombre sur D ; sous le second nombre lu sur C, l’échelle D donne le produit. Pour diviser, on place le diviseur lu sur C en face du dividende sur D, et on lit le résultat sous l’index. Si la lecture sort du corps, pour une multiplication comme pour une division, on prend comme index le 10 situé à l’autre bout de C.

Le curseur est une fenêtre marquée d’un trait fin qui glisse sur toutes les échelles. Il garde un résultat pendant qu’on déplace la réglette et relie des échelles qui ne se touchent pas. Les échelles A et B logent deux cycles dans la même longueur, de 1 à 10 sur la moitié gauche et de 10 à 100 sur la droite : le trait placé sur 3 en D croise 9 en A. Dans l’autre sens, elles donnent des racines carrées, à condition de choisir la bonne moitié : 25, sur la moitié droite, est au-dessus de 5 en D, alors que 2,5, sur la moitié gauche, est au-dessus de 1,58.

La règle donne des chiffres, pas des ordres de grandeur : 2 × 3 et 20 × 0,3 se règlent de la même façon. C’est l’utilisateur qui place la virgule, par estimation : 37 × 21 fait environ 40 × 20 = 800, donc une lecture de 7,77 signifie 777. Une règle de 25 cm se lit à environ trois chiffres significatifs, ce qui suffit à la plupart des calculs d’ingénieur, où les charges et la résistance des matériaux sont rarement mieux connues.

Comment la construire

Il faut du carton mince ou deux baguettes de bois raboté, un réglet en millimètres, un crayon bien taillé, un feutre fin, un cutter, une règle en acier, de la colle et un morceau de plastique transparent.

Établir les logarithmes. À trois décimales : 1 → 0, 2 → 0,301, 3 → 0,477, 4 → 0,602, 5 → 0,699, 6 → 0,778, 7 → 0,845, 8 → 0,903, 9 → 0,954, 10 → 1. N’importe quelle table imprimée de logarithmes décimaux les donne, et les tables plus complètes listent 1,1, 1,2, et ainsi de suite. On peut vérifier une valeur à la main : 2¹⁰ = 1 024, un peu plus que 10³, donc log 2 dépasse à peine 0,3. Sommes et différences donnent d’autres traits : log 1,5 = log 3 − log 2 = 0,176.

Découper les bandes. Deux bandes de 30 cm sur 3 cm, l’une pour le corps, l’autre pour la réglette. Collez le corps sur un carton de base plus large, puis une fine bande de guidage parallèle, en laissant un couloir où la réglette coulisse droit et sans jeu.

La règle en carton : la réglette court entre deux rails collés, et le curseur glisse sur l’ensemble.

Graduer les deux échelles ensemble. Fixez la réglette contre le corps au ruban adhésif, extrémités gauches alignées. Prenez 25 cm de 1 à 10, multipliez chaque logarithme par 250 mm et marquez au demi-millimètre près : le 2 à 75,3 mm, le 3 à 119,3, le 4 à 150,5, le 5 à 174,7, le 6 à 194,5, le 7 à 211,3, le 8 à 225,8, le 9 à 238,6 et le 10 à 250. Tirez chaque trait à cheval sur la jointure pour que les deux échelles coïncident. Pour l’essai ci-dessous, ajoutez 2,1 à 80,6 mm et 3,7 à 142,0 mm, puis, sur le corps seulement, 7,7 à 221,6 et 7,8 à 223,0.

Ajouter un curseur. Enroulez un manchon de plastique transparent autour de toute la base, assez serré pour frotter légèrement et assez large pour couvrir les deux échelles, et tracez-y un trait fin, d’équerre avec les échelles.

Vérifier. Placez le 1 de la réglette en face du 2 : sous le 3 on doit lire 6, sous le 4, 8. Placez ensuite le 1 en face de 3,7 et regardez sous 2,1 : la lecture tombe entre 7,7 et 7,8, plus près de 7,8. La multiplication posée donne 37 × 20 = 740, plus 37, soit 777. Pour diviser en retour, mettez 2,1 en face de cette lecture : l’index tombe sur 3,7. Une règle en carton donne deux chiffres sûrs et le troisième à l’œil ; si une lecture reste fausse, mesurez de nouveau le trait en cause.

Sécurité. Coupez sur un tapis de découpe, le long d’une règle en acier, gardez la main qui tient hors de la trajectoire de la lame, et rentrez ou couvrez la lame dès que vous posez le cutter.

Histoire et évolution

John Napier, un propriétaire terrien écossais, publie les logarithmes à Édimbourg en 1614, avec des tables pour les sinus de l’astronomie. Ses logarithmes n’ont pas de base au sens moderne. Henry Briggs, du Gresham College de Londres, lui rend visite en 1615 et en 1616 ; ils s’accordent sur la base 10 avec log 1 = 0. Briggs imprime une première table en 1617, et son Arithmetica logarithmica de 1624 va jusqu’à 14 décimales. En 1628, Adriaan Vlacq comble le trou laissé entre 20 000 et 90 000.

Sur les règles circulaires, les échelles suivent des anneaux concentriques et deux bras remplacent le compas.

Vers 1622, William Oughtred, pasteur dans le Surrey, fait glisser deux lignes de Gunter l’une contre l’autre. Il ne publie qu’en 1631-1632, en partie pour répondre à un ancien élève qui revendiquait l’idée. Son fabricant d’instruments, Elias Allen, en réalise aussi une version circulaire. Les règles droites, à réglette coulissant dans un corps, se répandent plus tard dans le siècle. En 1851, Amédée Mannheim, élève officier à Metz, fixe la disposition des échelles A, B, C et D lues avec un curseur, que les fabricants conservent pendant une centaine d’années.

Les ingénieurs dimensionnent ponts, avions et centrales à la règle à calcul, et les équipages d’Apollo en emportent. La calculatrice de poche HP-35 de Hewlett-Packard est mise en vente en 1972, et Keuffel & Esser, le plus grand fabricant américain, produit sa dernière règle le 11 juillet 1976.