Logaritmi e regolo calcolatore

Un logaritmo trasforma una moltiplicazione in un'addizione: la somma dei logaritmi di due numeri è il logaritmo del loro prodotto. Il regolo calcolatore, nato verso il 1622 dai logaritmi di Napier e dalla scala di Gunter, esegue questa somma con due righe che scorrono, e gli ingegneri lo usarono finché la calcolatrice tascabile non lo sostituì negli anni Settanta.

Che cos’è

Moltiplicare 4738 per 2916 a mano richiede quattro righe di prodotti parziali e una lunga somma finale. Con i logaritmi lo stesso lavoro si riduce a tre consultazioni di una tavola e una somma.

In base 10, il logaritmo di un numero è l’esponente a cui bisogna elevare 10 per ottenerlo. 100 è 10², quindi il suo logaritmo è 2. I numeri tra 1 e 10 hanno logaritmi tra 0 e 1: 2 è circa 10 elevato a 0,301, perciò log 2 = 0,301.

Il regolo calcolatore riporta questi logaritmi su due righe. Ogni numero è inciso a una distanza dall’inizio proporzionale al suo logaritmo, e facendo scorrere una riga lungo l’altra si sommano due lunghezze.

Come funziona

Le potenze di 10 si moltiplicano sommando gli esponenti: 10² × 10³ = 10⁵. Vale anche per gli esponenti frazionari, da cui log(a × b) = log a + log b. Per moltiplicare si cercano i due logaritmi in una tavola, li si somma e si cerca il numero il cui logaritmo è quella somma. La divisione diventa una sottrazione, la radice quadrata metà del logaritmo. Alla tavola bastano i numeri da 1 a 10 a piccoli passi: 4738 è 4,738 × 10³, quindi il suo logaritmo è 3 più quello di 4,738. Le tavole stampate arrivarono ad astronomi, agrimensori e navigatori, e Johannes Kepler le usò per ridurre le sue osservazioni dei pianeti.

Con il compasso, la linea di Gunter somma due logaritmi come due lunghezze.

Nel 1620 Edmund Gunter incise una linea di logaritmi su un regolo di due piedi inglesi. Il 2 si trova al 30,1% del tratto tra 1 e 10, il 3 al 47,7%, e le tacche si infittiscono verso il 10. Per moltiplicare 2 per 4 si apre il compasso da 1 a 2, poi lo si sposta senza cambiare apertura finché una punta poggia sul 4: l’altra cade sull’8. I marinai portavano a bordo un regolo così e lo chiamavano semplicemente «un Gunter».

Il regolo calcolatore fa a meno del compasso. Due scale uguali, D sul corpo fisso e C sull’asta scorrevole, stanno bordo a bordo. Si porta l’1 all’estremità sinistra di C, l’indice, sul primo numero di D; sotto il secondo numero di C, la scala D mostra il prodotto. Per dividere si mette il divisore di C sul dividendo di D e si legge il risultato sotto l’indice. Se la lettura esce dal corpo, nella moltiplicazione come nella divisione, si usa come indice il 10 all’altra estremità di C.

Il cursore è una finestrella con una linea sottile che scorre su tutte le scale. Trattiene un risultato mentre si sposta l’asta e collega scale che non sono affiancate. Le scale A e B contengono due cicli nella stessa lunghezza, da 1 a 10 nella metà sinistra e da 10 a 100 nella destra: con la linea sul 3 di D si legge 9 su A. Nel verso opposto danno radici quadrate, purché si scelga la metà giusta: 25, nella metà destra, sta sopra il 5 di D, mentre 2,5, nella sinistra, sta sopra 1,58.

Il regolo dà le cifre, non l’ordine di grandezza: 2 × 3 e 20 × 0,3 si impostano allo stesso modo. La virgola la mette chi calcola, a stima: 37 × 21 fa circa 40 × 20 = 800, quindi una lettura di 7,77 significa 777. Un regolo di 25 cm si legge a circa tre cifre significative, quanto basta per gran parte dei calcoli di ingegneria, dove carichi e resistenze dei materiali raramente si conoscono meglio.

Come costruirlo

Servono cartoncino sottile o due listelli di legno piallato, un righello millimetrato, una matita appuntita, un pennarello fine, un taglierino, una riga d’acciaio, colla e un pezzo di plastica trasparente.

Procurarsi i logaritmi. A tre decimali: 1 → 0, 2 → 0,301, 3 → 0,477, 4 → 0,602, 5 → 0,699, 6 → 0,778, 7 → 0,845, 8 → 0,903, 9 → 0,954, 10 → 1. Qualsiasi tavola stampata di logaritmi decimali li riporta, e le più complete elencano 1,1, 1,2 e così via. Un valore si può controllare a mano: 2¹⁰ = 1024, poco più di 10³, quindi log 2 deve essere poco più di 0,3. Somme e differenze danno altre tacche: log 1,5 = log 3 − log 2 = 0,176.

Tagliare le strisce. Due strisce lunghe 30 cm e larghe 3 cm, una per il corpo e una per l’asta. Incollate il corpo su un cartoncino di base più largo, poi una sottile striscia di guida parallela, lasciando un canale in cui l’asta scorra dritta e senza gioco.

Il regolo di cartoncino: l’asta scorre tra due guide incollate e il cursore scivola sopra entrambe.

Graduare le due scale insieme. Fissate l’asta contro il corpo con nastro adesivo, le estremità sinistre allineate. Prendete 25 cm da 1 a 10, moltiplicate ogni logaritmo per 250 mm e segnate al mezzo millimetro: il 2 a 75,3 mm, il 3 a 119,3, il 4 a 150,5, il 5 a 174,7, il 6 a 194,5, il 7 a 211,3, l’8 a 225,8, il 9 a 238,6 e il 10 a 250. Tracciate ogni tacca a cavallo della giunzione perché le scale coincidano. Per la prova qui sotto segnate anche 2,1 a 80,6 mm e 3,7 a 142,0 mm, poi, solo sul corpo, 7,7 a 221,6 e 7,8 a 223,0.

Aggiungere un cursore. Avvolgete intorno a tutta la base una fascia di plastica trasparente che scorra con un leggero attrito e copra entrambe le scale, e tracciatevi sopra una linea sottile, perpendicolare alle scale.

Verificare. Mettete l’1 dell’asta sul 2: sotto il 3 dovete leggere 6, sotto il 4, 8. Poi mettete l’1 su 3,7 e guardate sotto 2,1: la lettura cade tra 7,7 e 7,8, più vicino a 7,8. In colonna, 37 × 20 = 740, più 37, fa 777. Per dividere a ritroso, mettete 2,1 su quella lettura: l’indice indica 3,7. Un regolo di cartoncino dà due cifre sicure e la terza a occhio; se una lettura continua a sbagliare, rimisurate quella tacca.

Sicurezza. Tagliate su un tappetino da taglio contro una riga d’acciaio, tenete la mano che regge fuori dalla traiettoria della lama, e ritraete o coprite la lama ogni volta che posate il taglierino.

Storia ed evoluzione

John Napier, un proprietario terriero scozzese, pubblicò i logaritmi a Edimburgo nel 1614, con tavole per i seni usati in astronomia. I suoi logaritmi non avevano una base nel senso moderno. Henry Briggs, del Gresham College di Londra, lo visitò nel 1615 e nel 1616; si accordarono sulla base 10 con log 1 = 0. Briggs stampò una prima tavola nel 1617, e la sua Arithmetica logarithmica del 1624 arrivava a 14 decimali. Nel 1628 Adriaan Vlacq colmò la lacuna tra 20.000 e 90.000.

Nei regoli circolari le scale corrono su anelli concentrici e due bracci prendono il posto del compasso.

Verso il 1622 William Oughtred, ecclesiastico nel Surrey, fece scorrere due linee di Gunter l’una contro l’altra. Pubblicò solo nel 1631-1632, in parte per rispondere a un ex allievo che rivendicava l’idea. Il suo costruttore di strumenti, Elias Allen, ne realizzò anche una forma circolare. I regoli diritti, con un’asta che scorre in un corpo, si diffusero più avanti nel secolo, e nel 1851 Amédée Mannheim, allievo ufficiale a Metz, fissò la disposizione delle scale A, B, C e D con cursore, che i costruttori mantennero per circa cent’anni.

Gli ingegneri dimensionarono ponti, aerei e centrali con il regolo, e gli equipaggi Apollo lo portarono a bordo. La calcolatrice tascabile HP-35 di Hewlett-Packard fu messa in vendita nel 1972, e Keuffel & Esser, il maggiore produttore americano, fabbricò il suo ultimo regolo l’11 luglio 1976.