Numerazione posizionale

In una numerazione posizionale bastano poche cifre per scrivere qualsiasi numero, perché il valore di ciascuna dipende dal posto che occupa. Con uno zero a segnare il posto vuoto, addizioni, moltiplicazioni e divisioni si fanno per iscritto, colonna per colonna, senza abaco.

Che cos’è

In 707 il primo sette conta centinaia, l’ultimo unità. Tutta la numerazione posizionale sta qui: un piccolo insieme di segni il cui valore dipende da dove si trovano. Con le dieci cifre da 0 a 9 si scrive qualsiasi numero intero, grande quanto si vuole, senza mai aver bisogno di un segno nuovo.

I sistemi più antichi sommavano i loro segni. Gli scribi egizi avevano un segno per le unità, uno per le decine, uno per le centinaia, e ripetevano ciascuno quante volte serviva. In numeri romani 1888 si scrive MDCCCLXXXVIII, tredici segni. Vanno bene per annotare un totale, ma ci si calcola male. I contabili romani e medievali lavoravano perciò su un abaco e scrivevano solo il risultato.

La numerazione posizionale trasforma il numero scritto in un abaco sulla carta, così il calcolo stesso si può annotare e controllare. A renderlo possibile è lo zero, che prima indicò un posto vuoto e poi diventò un numero a tutti gli effetti.

Come funziona

Un numero babilonese si imprimeva nell’argilla umida, un cuneo dopo l’altro.

La base è il numero di cifre diverse, e ogni posto vale quel numero di volte il posto alla sua destra. In base dieci, 2748 significa 2 migliaia, 7 centinaia, 4 decine e 8 unità. In 1081 lo zero dice che non ci sono centinaia; senza di esso 1081 e 181 si confonderebbero.

Le altre basi seguono la stessa regola. Gli scribi babilonesi contavano per sessanta con due segni: il cuneo verticale per uno e il cuneo angolare per dieci. Mille sono 16 sessantine e 40: si scriveva 16, poi 40. I maya contavano per venti, con un punto per uno, una barra per cinque e una conchiglia per zero, e impilavano i posti dal basso verso l’alto. Mille sono due volte quattrocento, dieci ventine e nessuna unità: due punti sopra due barre sopra una conchiglia. Nelle date del calendario il terzo posto contava 360 giorni invece di 400. I computer lavorano in base due, dove 13 si scrive 1101: un otto, un quattro, nessun due e un’unità.

Quando una colonna arriva a dieci o più se ne scrivono le unità e se ne riportano le decine nella colonna successiva; quando non basta, si prende in prestito uno da sinistra. Spostare un numero di un posto a sinistra lo moltiplica per dieci, per cui 47 × 23 è 47 × 3 più 47 × 20: 141 + 940 = 1081. La tavola pitagorica fino a 9 × 9 basta per moltiplicare due numeri qualsiasi. La divisione in colonna procede da sinistra, un posto alla volta: si cerca una cifra del quoziente, si moltiplica, si sottrae, si abbassa la cifra successiva.

Come costruirlo

Servono una tavola piana o un tratto di sabbia lisciata, un gesso o un bastoncino, una quarantina di sassolini, carta e una matita.

Tracciare l’abaco. Tracciate quattro linee parallele distanti un palmo: dal basso, unità, decine, centinaia e migliaia. Fatti tutti i riporti, nessuna linea ha più di nove sassolini.

Disporre un numero. Per 2748 mettete 2 sassolini sulla linea delle migliaia, 7 su quella delle centinaia, 4 su quella delle decine e 8 su quella delle unità. Una linea vuota vale zero.

Il riporto sull’abaco: dieci gettoni di una linea si scambiano con uno solo sulla linea superiore.

Sommare con il riporto. Aggiungete 1375 posando 1, 3, 7 e 5 sassolini sulle stesse linee. La linea delle unità ne ha ora 13: toglietene dieci, mettetene uno sulla linea delle decine e ne restano 3. Quella delle decine ne ha 12; riportate di nuovo e fate lo stesso con le centinaia. L’abaco segna 4123.

Moltiplicare. Svuotate l’abaco. Per 47 × 23 disponete tre volte 47, facendo i riporti man mano: 141. Disponete poi altre due volte 47, ma ogni sassolino una linea più in alto del solito, il che aggiunge 940. Fate i riporti e leggete 1081.

Passare alla carta. Rifate gli stessi conti in colonna, con il riporto scritto in piccolo sopra la colonna successiva. Ogni colonna è una linea dell’abaco, ogni cifra un numero di sassolini, ogni 0 una linea vuota.

Cambiare base. Per scrivere 4000 secondi in base sessanta, dividete per 60: 66, resto 40. Dividete 66 per 60: 1, resto 6. Leggete l’ultimo quoziente e poi i resti a ritroso: 1, 6 e 40, cioè 1 ora, 6 minuti e 40 secondi.

Sicurezza. I sassolini piccoli possono causare soffocamento nei bambini piccoli. Scegliete pietre troppo grandi per essere inghiottite, oppure tenete l’abaco fuori dalla loro portata.

Storia ed evoluzione

L’uso più antico datato con certezza è una tavoletta di appunti di Ur, del 2043 a.C., che somma pesi in base sessanta. Verso il 1800 a.C. le tavolette scolastiche babilonesi lo usano correntemente. Non c’erano né lo zero né un segno che separasse gli interi dalle frazioni, e il lettore ricavava l’ordine di grandezza dal contesto. Dal 700 a.C. circa alcuni scribi mettono un segno in un posto vuoto all’interno di un numero, mai alla fine. Gli astronomi greci conservarono la base sessanta per le frazioni, ed è per questo che l’ora e il grado hanno ancora sessanta minuti.

I maya arrivarono da soli al valore posizionale e allo zero. Le date del Computo lungo compaiono nel Messico meridionale dal I secolo a.C., e stele di Uaxactún datate 357 scrivono i posti vuoti con un segno dello zero.

Nel tardo Medioevo in Europa si contava ancora spesso con gettoni d’ottone su un panno rigato.

Le nostre cifre vengono dall’India. Nel 628 Brahmagupta definì lo zero come un numero meno sé stesso e diede regole per calcolare con esso, anche se la sua regola per cui zero diviso zero fa zero è sbagliata. Il manoscritto di Bakhshali, trovato vicino a Peshawar nel 1881, scrive lo zero con un punto; tre dei suoi fogli, datati al radiocarbonio nel 2017, vanno dal III al X secolo, e la data del testo è discussa. Lo zero datato più antico e indiscusso dell’India si trova a Gwalior, nell’876.

Nella Baghdad del IX secolo al-Khwarizmi scrisse un libro sul calcolo indiano, giunto a noi solo in latino; dal suo nome viene la parola algoritmo. Fibonacci imparò le cifre in Nord Africa e le insegnò nel suo Liber abaci del 1202. Nel 1299 l’Arte del Cambio di Firenze le vietò nei libri contabili dei suoi membri, e nell’Europa del Nord gli abachi a gettoni rimasero in uso fino al XVI secolo.