Logaritmos y regla de cálculo

Un logaritmo convierte una multiplicación en una suma: la suma de los logaritmos de dos números es el logaritmo de su producto. La regla de cálculo, nacida hacia 1622 de los logaritmos de Napier y la escala de Gunter, hace esa suma con dos reglas que se deslizan, y los ingenieros la usaron hasta que la calculadora de bolsillo la desplazó en la década de 1970.

Qué es

Multiplicar 4738 por 2916 a mano exige cuatro filas de productos parciales y una larga suma al final. Con logaritmos, el mismo trabajo se reduce a tres consultas en una tabla y una suma.

En base 10, el logaritmo de un número es la potencia a la que hay que elevar 10 para obtenerlo. 100 es 10², así que su logaritmo es 2. Los números entre 1 y 10 tienen logaritmos entre 0 y 1: 2 es aproximadamente 10 elevado a 0,301, de modo que log 2 = 0,301.

La regla de cálculo lleva esos logaritmos en dos reglas. Cada número está grabado a una distancia del origen proporcional a su logaritmo, y al deslizar una regla junto a la otra se suman dos longitudes.

Cómo funciona

Las potencias de 10 se multiplican sumando sus exponentes: 10² × 10³ = 10⁵. Lo mismo vale para exponentes fraccionarios, y de ahí log(a × b) = log a + log b. Para multiplicar se buscan los dos logaritmos en una tabla, se suman y se busca el número cuyo logaritmo es esa suma. La división pasa a ser una resta, y la raíz cuadrada, la mitad del logaritmo. A la tabla le bastan los números de 1 a 10 en pasos finos: 4738 es 4,738 × 10³, así que su logaritmo es 3 más el de 4,738. Las tablas impresas llegaron a astrónomos, agrimensores y navegantes, y Johannes Kepler las usó para reducir sus observaciones de los planetas.

Con un compás, la línea de Gunter suma dos logaritmos como dos longitudes.

En 1620, Edmund Gunter grabó una línea de logaritmos en una regla de dos pies ingleses. El 2 queda al 30,1 % del recorrido entre 1 y 10, el 3 al 47,7 %, y las marcas se apiñan hacia el 10. Para multiplicar 2 por 4 se abre el compás de 1 a 2 y se traslada sin cambiar la abertura hasta apoyar una punta en el 4: la otra cae en el 8. Los marinos llevaban una regla así y la llamaban sencillamente «un Gunter».

La regla de cálculo prescinde del compás. Dos escalas iguales, D en el cuerpo fijo y C en la reglilla, quedan borde con borde. Se coloca el 1 del extremo izquierdo de C, el índice, sobre el primer número en D; bajo el segundo número de C, la escala D muestra el producto. Para dividir se pone el divisor de C sobre el dividendo de D y se lee el resultado bajo el índice. Si la lectura se sale del cuerpo, al multiplicar o al dividir, se usa como índice el 10 del otro extremo de C.

El cursor es una ventanilla con una línea fina que se desliza sobre todas las escalas. Retiene un resultado mientras se mueve la reglilla y enlaza escalas que no están juntas. Las escalas A y B meten dos ciclos en la misma longitud, de 1 a 10 en la mitad izquierda y de 10 a 100 en la derecha: con la línea sobre el 3 de D, se lee 9 en A. En sentido inverso dan raíces cuadradas, siempre que se elija la mitad correcta: 25, en la mitad derecha, queda sobre el 5 de D, mientras que 2,5, en la izquierda, queda sobre 1,58.

La regla da cifras, no órdenes de magnitud: 2 × 3 y 20 × 0,3 se ajustan igual. El usuario coloca la coma por estimación: 37 × 21 es más o menos 40 × 20 = 800, así que una lectura de 7,77 significa 777. Una regla de 25 cm se lee con unas tres cifras significativas, lo que basta para la mayoría de los cálculos de ingeniería, donde las cargas y la resistencia de los materiales rara vez se conocen mejor.

Cómo construirla

Hace falta cartulina fina o dos listones de madera cepillada, una regla milimetrada, un lápiz afilado, un rotulador fino, un cúter, una regla de acero, cola y un trozo de plástico transparente.

Conseguir los logaritmos. Con tres decimales: 1 → 0, 2 → 0,301, 3 → 0,477, 4 → 0,602, 5 → 0,699, 6 → 0,778, 7 → 0,845, 8 → 0,903, 9 → 0,954, 10 → 1. Cualquier tabla impresa de logaritmos decimales los da, y las más completas incluyen 1,1, 1,2 y así sucesivamente. Un valor se puede comprobar a mano: 2¹⁰ = 1024, algo más que 10³, así que log 2 tiene que ser algo más de 0,3. Sumas y restas dan más marcas: log 1,5 = log 3 − log 2 = 0,176.

Cortar las tiras. Dos tiras de 30 cm de largo y 3 cm de ancho, una para el cuerpo y otra para la reglilla. Pegue el cuerpo sobre una cartulina base más ancha y luego una tira guía fina y paralela, dejando un canal por el que la reglilla corra recta y sin holgura.

La regla de cartulina: la reglilla corre entre dos guías pegadas y el cursor se desliza sobre el conjunto.

Marcar las dos escalas a la vez. Sujete la reglilla contra el cuerpo con cinta adhesiva, con los extremos izquierdos alineados. Tome 25 cm de 1 a 10, multiplique cada logaritmo por 250 mm y marque al medio milímetro: el 2 a 75,3 mm, el 3 a 119,3, el 4 a 150,5, el 5 a 174,7, el 6 a 194,5, el 7 a 211,3, el 8 a 225,8, el 9 a 238,6 y el 10 a 250. Trace cada marca por encima de la junta para que las dos escalas coincidan. Para la prueba de abajo, marque también 2,1 a 80,6 mm y 3,7 a 142,0 mm y, solo en el cuerpo, 7,7 a 221,6 y 7,8 a 223,0.

Añadir un cursor. Rodee toda la base con una funda de plástico transparente que deslice con un ligero roce y cubra las dos escalas, y trace en ella una línea fina, en escuadra con las escalas.

Comprobar. Ponga el 1 de la reglilla sobre el 2: bajo el 3 debe leerse 6, y bajo el 4, 8. Luego ponga el 1 sobre 3,7 y mire bajo 2,1: la lectura cae entre 7,7 y 7,8, más cerca de 7,8. La multiplicación escrita da 37 × 20 = 740, más 37, igual a 777. Para dividir de vuelta, ponga 2,1 sobre esa lectura: el índice señala 3,7. Una regla de cartulina da dos cifras seguras y la tercera a ojo; si una lectura sigue fallando, vuelva a medir esa marca.

Seguridad. Corte sobre una base de corte y contra una regla de acero, mantenga la mano que sujeta fuera del recorrido de la cuchilla, y retraiga o tape la hoja cada vez que deje el cúter.

Historia y evolución

John Napier, un terrateniente escocés, publicó los logaritmos en Edimburgo en 1614, con tablas para los senos de la astronomía. Sus logaritmos no tenían base en el sentido actual. Henry Briggs, del Gresham College de Londres, lo visitó en 1615 y 1616; acordaron la base 10 con log 1 = 0. Briggs imprimió una primera tabla en 1617, y su Arithmetica logarithmica de 1624 llegaba a 14 decimales. En 1628, Adriaan Vlacq completó el hueco que quedaba entre 20 000 y 90 000.

En las reglas circulares, las escalas siguen anillos concéntricos y dos brazos sustituyen al compás.

Hacia 1622, William Oughtred, clérigo en Surrey, hizo deslizar dos líneas de Gunter una contra otra. Solo lo publicó en 1631-1632, en parte para responder a un antiguo alumno que reclamaba la idea. Su constructor de instrumentos, Elias Allen, hizo también una versión circular. Las reglas rectas, con una reglilla que corre dentro de un cuerpo, se extendieron más adelante en ese siglo, y en 1851 Amédée Mannheim, un joven oficial que aún estudiaba en Metz, fijó la disposición de las escalas A, B, C y D con cursor, y los fabricantes la mantuvieron durante cerca de un siglo.

Los ingenieros dimensionaron puentes, aviones y centrales con la regla de cálculo, y las tripulaciones del Apolo la llevaron a bordo. La calculadora de bolsillo HP-35 de Hewlett-Packard salió a la venta en 1972, y Keuffel & Esser, el mayor fabricante estadounidense, produjo su última regla el 11 de julio de 1976.