Logaritmos e régua de cálculo

Um logaritmo transforma uma multiplicação numa soma: a soma dos logaritmos de dois números é o logaritmo do seu produto. A régua de cálculo, nascida por volta de 1622 dos logaritmos de Napier e da escala de Gunter, faz essa soma com duas réguas que deslizam, e os engenheiros usaram-na até a calculadora de bolso a substituir nos anos 1970.

O que é

Multiplicar 4738 por 2916 à mão exige quatro linhas de produtos parciais e uma longa soma no fim. Com logaritmos, o mesmo trabalho reduz-se a três consultas numa tábua e uma soma.

Na base 10, o logaritmo de um número é a potência a que é preciso elevar 10 para o obter. 100 é 10², portanto o seu logaritmo é 2. Os números entre 1 e 10 têm logaritmos entre 0 e 1: 2 é cerca de 10 elevado a 0,301, logo log 2 = 0,301.

A régua de cálculo leva esses logaritmos em duas réguas. Cada número está gravado a uma distância da origem proporcional ao seu logaritmo, e ao deslizar uma régua ao longo da outra somam-se dois comprimentos.

Como funciona

As potências de 10 multiplicam-se somando os expoentes: 10² × 10³ = 10⁵. O mesmo vale para expoentes fracionários, daí log(a × b) = log a + log b. Para multiplicar, procuram-se os dois logaritmos numa tábua, somam-se e procura-se o número cujo logaritmo é essa soma. A divisão torna-se uma subtração, e a raiz quadrada, metade do logaritmo. A tábua só precisa dos números de 1 a 10 em passos finos: 4738 é 4,738 × 10³, por isso o seu logaritmo é 3 mais o de 4,738. As tábuas impressas chegaram a astrónomos, agrimensores e navegadores, e Johannes Kepler usou-as para reduzir as suas observações dos planetas.

Com um compasso, a linha de Gunter soma dois logaritmos como dois comprimentos.

Em 1620, Edmund Gunter gravou uma linha de logaritmos numa régua de dois pés ingleses. O 2 fica a 30,1 % do percurso entre 1 e 10, o 3 a 47,7 %, e os traços apertam-se à medida que se aproximam do 10. Para multiplicar 2 por 4, abre-se o compasso de 1 a 2 e desloca-se sem mudar a abertura até uma ponta assentar no 4: a outra cai no 8. Os marinheiros levavam uma régua destas e chamavam-lhe simplesmente «um Gunter».

A régua de cálculo dispensa o compasso. Duas escalas iguais, D no corpo fixo e C na lingueta, ficam bordo com bordo. Coloca-se o 1 da ponta esquerda de C, o índice, sobre o primeiro número em D; por baixo do segundo número de C, a escala D mostra o produto. Para dividir, põe-se o divisor de C sobre o dividendo de D e lê-se o resultado por baixo do índice. Se a leitura sair do corpo, ao multiplicar ou ao dividir, usa-se como índice o 10 da outra ponta de C.

O cursor é uma janela com um traço fino que desliza sobre todas as escalas. Guarda um resultado enquanto a lingueta se move e liga escalas que não estão lado a lado. As escalas A e B metem dois ciclos no mesmo comprimento, de 1 a 10 na metade esquerda e de 10 a 100 na direita: com o traço sobre o 3 de D, lê-se 9 em A. No sentido inverso dão raízes quadradas, desde que se escolha a metade certa: 25, na metade direita, fica sobre o 5 de D, enquanto 2,5, na esquerda, fica sobre 1,58.

A régua dá algarismos, não ordens de grandeza: 2 × 3 e 20 × 0,3 acertam-se da mesma maneira. Quem calcula coloca a vírgula por estimativa: 37 × 21 é cerca de 40 × 20 = 800, por isso uma leitura de 7,77 significa 777. Uma régua de 25 cm lê-se com cerca de três algarismos significativos, o que chega para a maior parte dos cálculos de engenharia, onde as cargas e a resistência dos materiais raramente se conhecem melhor.

Como construir

São precisos cartolina fina ou duas ripas de madeira aplainada, uma régua milimétrica, um lápis bem afiado, uma caneta de ponta fina, um x-ato, uma régua de aço, cola e um pedaço de plástico transparente.

Obter os logaritmos. Com três casas decimais: 1 → 0, 2 → 0,301, 3 → 0,477, 4 → 0,602, 5 → 0,699, 6 → 0,778, 7 → 0,845, 8 → 0,903, 9 → 0,954, 10 → 1. Qualquer tábua impressa de logaritmos decimais os dá, e as mais completas incluem 1,1, 1,2 e assim por diante. Pode verificar-se um valor à mão: 2¹⁰ = 1024, pouco mais que 10³, portanto log 2 tem de ser pouco mais de 0,3. Somas e diferenças dão mais traços: log 1,5 = log 3 − log 2 = 0,176.

Cortar as tiras. Duas tiras com 30 cm de comprimento e 3 cm de largura, uma para o corpo e outra para a lingueta. Cole o corpo sobre uma cartolina de base mais larga e depois uma tira-guia fina e paralela, deixando um canal onde a lingueta corra direita e sem folga.

A régua de cartolina: a lingueta corre entre duas guias coladas e o cursor desliza por cima de tudo.

Graduar as duas escalas juntas. Prenda a lingueta contra o corpo com fita-cola, com as pontas esquerdas alinhadas. Tome 25 cm de 1 a 10, multiplique cada logaritmo por 250 mm e marque ao meio milímetro: o 2 a 75,3 mm, o 3 a 119,3, o 4 a 150,5, o 5 a 174,7, o 6 a 194,5, o 7 a 211,3, o 8 a 225,8, o 9 a 238,6 e o 10 a 250. Trace cada traço por cima da junta para que as escalas coincidam. Para o ensaio abaixo, marque também 2,1 a 80,6 mm e 3,7 a 142,0 mm e, só no corpo, 7,7 a 221,6 e 7,8 a 223,0.

Juntar um cursor. Enrole à volta de toda a base uma manga de plástico transparente que deslize com um ligeiro atrito e cubra as duas escalas, e risque nela uma linha fina, em esquadria com as escalas.

Verificar. Ponha o 1 da lingueta sobre o 2: por baixo do 3 deve ler-se 6, por baixo do 4, 8. Depois ponha o 1 sobre 3,7 e olhe por baixo de 2,1: a leitura cai entre 7,7 e 7,8, mais perto de 7,8. A multiplicação feita à mão dá 37 × 20 = 740, mais 37, igual a 777. Para dividir de volta, ponha 2,1 sobre essa leitura: o índice aponta para 3,7. Uma régua de cartolina dá dois algarismos seguros e o terceiro a olho; se uma leitura continuar errada, volte a medir esse traço.

Segurança. Corte sobre uma base de corte, encostado a uma régua de aço, mantenha a mão que segura fora do caminho da lâmina, e recolha ou tape a lâmina sempre que pousar o x-ato.

História e evolução

John Napier, um proprietário rural escocês, publicou os logaritmos em Edimburgo em 1614, com tábuas para os senos da astronomia. Os seus logaritmos não tinham base no sentido moderno. Henry Briggs, do Gresham College de Londres, visitou-o em 1615 e 1616; acordaram a base 10 com log 1 = 0. Briggs imprimiu uma primeira tábua em 1617, e a sua Arithmetica logarithmica de 1624 chegava às 14 casas decimais. Em 1628, Adriaan Vlacq preencheu a lacuna entre 20 000 e 90 000.

Nas réguas circulares, as escalas seguem anéis concêntricos e dois braços substituem o compasso.

Por volta de 1622, William Oughtred, clérigo no Surrey, fez deslizar duas linhas de Gunter uma contra a outra. Só publicou em 1631-1632, em parte para responder a um antigo aluno que reivindicava a ideia. O seu fabricante de instrumentos, Elias Allen, fez também uma versão circular. As réguas direitas, com uma lingueta a correr dentro de um corpo, espalharam-se mais tarde nesse século, e em 1851 Amédée Mannheim, um jovem oficial ainda em formação em Metz, fixou a disposição das escalas A, B, C e D com cursor, que os fabricantes mantiveram durante cerca de cem anos.

Os engenheiros dimensionaram pontes, aviões e centrais com a régua de cálculo, e as tripulações Apollo levaram-na a bordo. A calculadora de bolso HP-35 da Hewlett-Packard foi posta à venda em 1972, e a Keuffel & Esser, o maior fabricante americano, produziu a sua última régua a 11 de julho de 1976.