Zahnräder

Ein Zahnrad ist ein Rad mit Zähnen, die in die Zähne eines anderen Rades greifen, sodass eine Welle eine andere ohne Schlupf antreiben kann. Über die Zähnezahl tauscht der Konstrukteur Drehzahl gegen Kraft, ändert die Drehrichtung oder hält ein genaues Übersetzungsverhältnis ein.

Was es ist

Ein Zahnrad ist ein Rad mit Zähnen am Umfang. Greifen diese Zähne in die eines zweiten Zahnrads, zwingt die Drehung des einen Rades das andere mitzudrehen, und dabei rutscht nichts durch. Zahnräder treiben Mühlen, Uhren, Fahrräder und Autogetriebe an.

Treibt ein kleines Zahnrad ein großes an, dreht sich das große langsamer, aber mit mehr Drehkraft, dem Drehmoment. Zwei ineinandergreifende Stirnräder laufen gegenläufig, und ein Kammrad oder ein Kegelrad lenkt die Bewegung um einen rechten Winkel um. Weil Zähne nicht rutschen können, hält ein Räderwerk außerdem sein Übersetzungsverhältnis über Jahre, und genau darauf ist eine Uhr angewiesen.

Wie es funktioniert

Man nehme zwei Zahnräder mit 60 und 15 Zähnen. Jedes Mal, wenn ein Zahn des großen Rades die Eingriffsstelle passiert, passiert sie auch ein Zahn des kleinen. Eine Umdrehung des großen Rades ergibt also vier Umdrehungen des kleinen. Das Drehzahlverhältnis entspricht dem Verhältnis der Zähnezahlen. Die Leistung, die hineingeht, kommt abzüglich der Reibung wieder heraus, also verhält sich das Drehmoment umgekehrt: Das kleine Rad dreht sich viermal so schnell und hat ein Viertel des Drehmoments.

Die Tafel zeigt zwei Familien. Links das hölzerne Getriebe einer Mühle: Ein Kammrad, in dessen Kranz auf einer Seite Zapfen sitzen, die Kämme, treibt ein Laternenrad an, das aus runden Stöcken zwischen zwei Scheiben besteht. Ein abgenutzter Kamm lässt sich einzeln herausschlagen und ersetzen. Rechts sind Stirnräder aus Metall mit geformten Zähnen auf parallelen Wellen zu sehen.

Jede Umdrehung der Schnecke rückt das Rad um genau einen Zahn weiter.

Mit einfachen Zapfen wird das getriebene Rad bei jedem Zahn, der in Eingriff kommt und wieder austritt, kurz schneller und dann wieder langsamer. Das bringt Lärm, Erschütterungen und Verschleiß. Für eine gleichförmige Übersetzung müssen die Zahnflanken Kurven folgen, die so gewählt sind, dass der Druck zwischen zwei Zähnen immer durch denselben Punkt auf der Verbindungslinie der Wellen geht. Die Zykloide, die man lange in Uhren verwendete, leistet das. Ebenso die Evolvente, also die Kurve, die das Ende eines straff gespannten Fadens beschreibt, wenn man ihn von einem Kreis abwickelt. Evolventenräder halten ihr Verhältnis auch dann, wenn die Wellen etwas zu weit auseinanderliegen, und sie sind leichter herzustellen. Fast alle modernen Zahnräder haben deshalb diese Form.

Eine Schnecke ist eine Schraube, die in ein Zahnrad greift. Sie kann ein oder mehrere Gewindegänge haben. Die abgebildete Schnecke ist eingängig und schiebt das Rad pro Umdrehung um einen Zahn weiter. Bei einem Rad mit 30 Zähnen ergibt das eine Untersetzung von 30 zu 1. Ob das Rad die Schnecke rückwärts antreiben kann, hängt von Geometrie und Reibung ab. Schwingungen können die Selbsthemmung aufheben. Hebezeuge und Winden zum Heben von Lasten brauchen deshalb eine unabhängige Bremse, die die Last hält. Eine Zahnstange, ein gerader gezahnter Stab, wandelt Drehung in geradlinige Bewegung um.

Bauanleitung

Genaue Zahnräder aus Metall erfordern eine Drehbank mit Teilscheibe oder eine Verzahnungsmaschine. Ein hölzernes Kammrad mit Laternenrad, wie es hier skizziert ist, lässt sich mit Handwerkzeug bauen.

Die Übersetzung wählen. Die Zähnezahlen nach der benötigten Abtriebsdrehzahl festlegen, zum Beispiel 45 Kämme und 8 Stöcke, also etwa 5,6 zu 1. Zahlen ohne gemeinsamen Teiler verteilen den Verschleiß, weil jeder Kamm der Reihe nach auf jeden Stock trifft.

Die Teilung anreißen. Kämme und Stöcke müssen genau im selben Abstand stehen, der Teilung, gemessen auf ihren Teilkreisen. Den Kreis anreißen und mit dem Stechzirkel abtragen. Ein Millimeter Fehler pro Schritt summiert sich über den ganzen Umfang.

Das Rad bauen. Den Kranz aus abgelagertem Hartholz wie Eiche fertigen, aus überlappenden Segmenten, damit die Faser der Rundung folgt, und an Armen befestigen, die durch die Welle gezapft sind. An jeder Markierung ein Loch stemmen und Kämme aus dichtem, zähem Holz einschlagen, jeweils mit einem Zapfen, der durch den Kranz reicht und dahinter verkeilt wird. Die arbeitenden Enden abrunden.

Das Laternenrad bauen. Zwei Scheiben auf der Welle befestigen, beide auf demselben Teilkreis bohren und runde Stöcke dazwischen einschlagen.

Den Eingriff einstellen. Beide Wellen so in festen Lagern montieren, dass die Kämme etwa zur Hälfte in die Lücken zwischen den Stöcken reichen, mit etwas Spiel. Die Räder langsam von Hand drehen, Stellen, die klemmen, mit Kreide markieren und nacharbeiten. Die Zähne mit Talg schmieren.

Sicherheit. Ineinandergreifende Zahnräder ziehen Finger, Haare und lose Kleidung genau dort ein, wo die Zähne zusammenkommen. Eine Schutzabdeckung anbringen, Haare und Ärmel zusammenbinden und nie in ein Getriebe greifen, das sich drehen kann: zuerst den Antrieb anhalten und sichern.

Geschichte und Entwicklung

Zahnstange und Ritzel wandeln Drehung in geradlinige Bewegung um.

Die Mechanischen Probleme, um 280 v. Chr. in der Schule des Aristoteles verfasst, beschreiben Räder, die sich berühren und gegenläufig drehen, erwähnen aber keine Zähne. Vielleicht waren es glatte Räder, die allein über Reibung liefen. Die ältesten erhaltenen Zahnräder sind kleine Metallräder aus der Zeit der Streitenden Reiche in China, aus dem 4. Jahrhundert v. Chr., die im Museum von Luoyang aufbewahrt werden.

Im Alexandria des 3. Jahrhunderts v. Chr. baute Ktesibios eine Wasseruhr, in der ein steigender Schwimmer eine Stange und Trommeln mit gleichen Zähnen bewegte, wie Vitruv später beschrieb. Archimedes wird um 250 v. Chr. die Schnecke zugeschrieben.

Das größte Fragment des Mechanismus von Antikythera mit seinem vierspeichigen Hauptrad.

Im Jahr 1901 fanden Taucher in einem Wrack vor der griechischen Insel Antikythera das komplexeste Räderwerk, das aus der Antike bekannt ist. Der Mechanismus wurde im 2. oder 1. Jahrhundert v. Chr. gebaut und ist in 82 Fragmenten erhalten, die 30 Zahnräder aus Bronze enthalten, etwa ein Drittel der ursprünglichen Maschine. Von Hand gedreht, zeigte er die Stellungen von Sonne, Mond und Planeten an und sagte Finsternisse voraus.

Um 25 v. Chr. beschrieb Vitruv eine Wassermühle, in der eine gezahnte Trommel auf der Radwelle ein größeres waagerechtes Rad antrieb, das den Mühlstein drehte. Kammräder und Laternenräder dieser Art trieben die Mühlen in den folgenden fünfzehn Jahrhunderten an. Mechanische Uhren verbreiteten sich in Europa ab etwa 1300. Der Bau der astronomischen Uhr des Giovanni de’ Dondi wird traditionell auf 1348–1364 datiert. Die Bauzeit ist jedoch umstritten: Das Wissenschafts- und Technikmuseum in Mailand nennt 1365–1380. In den 1490er-Jahren zeichnete Leonardo da Vinci Zahnformen in die Notizbücher, die heute Codices Madrid heißen.

Philippe de La Hire untersuchte um 1694 die Zahnkurven, und um 1754 stellte Leonhard Euler die Regel auf, der die Zähne für eine gleichförmige Übersetzung folgen müssen. Im 19. Jahrhundert trieben Zahnräder aus Gusseisen und später aus maschinell verzahntem Stahl die Fabriken an, und in den meisten Maschinen verdrängte die Evolvente die Zykloide.